现代微分几何
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设$\omega^1,…,\omega^m\in V^*$, $\dim V=n(>m)$, 证明$\omega^1,…,\omega^m$线性无关的充要条件是$\omega^1\wedge…\omega^m\ne0$.
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利用光滑流形的定义证明$\mathbb R^4$中的单位球面$S^3$是一个$3$维光滑流形;$\bigstar$
P9Eg1.2
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叙述 Poincare 引理, 并利用它证明古典场论公式: $\mathrm{div}(\text{curl}\ X)=0$. $\bigstar$
P48Th2.27 ???
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在三维光滑流形$M=R^3$上, 令$\alpha=dx^1-x^2dx^2\in\Omega^1(M)$., $\beta=x^2dx^1\wedge dx^3-dx^2\wedge dx^3\in \Omega^2(M)$,计算$d\alpha,d\beta,\alpha\wedge \beta$.
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给出淹没的定义, 若$f:M\to N$是淹没, 证明$f$是开映射, 即$f$把开集映为开集.
P13 Def1.16 ???
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(求李括号)在$R^3$上定义 3 个光滑向量场:
\[X=y\dfrac{\partial }{\partial x}-x\dfrac{\partial }{\partial y},\\ Y=z\dfrac{\partial }{\partial y}-y\dfrac{\partial }{\partial z},\\ Z=\dfrac{\partial }{\partial x}+\dfrac{\partial }{\partial y}+2\dfrac{\partial }{\partial z},\]求$[X,Y]$和$[Y,Z]$.$\bigstar$
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证明仿射联络空间$(M,\nabla)$上的曲率算子$R(X,Y)$对$M$上的任意光滑函数$f$满足:$R(fX,Y)=fR(X,Y)$.
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叙述并证明黎曼几何的基本定理.
P78 Th4.8
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设$\omega$是$n$维球面$S^n$上的光滑$n-1$次形式, 证明$\int\limits_{S^n}d\omega=0$.
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利用流形定义证明$n$维实射影空间$RP^n$是一个$n$维光滑流形.
P10 Eg1.6
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设$(G;*)$和$(H;\bullet)$是两个李群, 证明乘积流形$G\times H$有李群的结构.
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叙述并证明流形的隐函数定理.
P13 Th1.6
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如何理解向量丛和切丛.
P33Def2.11, P34 Eg2.1
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试在$n$维复射影空间$CP^n$上定义拓扑和微分结构,使之成为一个$2n$维光滑流形.
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叙述并证明 Cartan 引理.
P32 Th2.11
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如何理解单位分解定理的定义与作用.
P20Th1.8, ???
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什么是$Levi-Civita$联络?证明任一个黎曼流形上都存在唯一的$Levi-Civita$联络.
P77 Def4.11, ???
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证明: 光滑流形$M$上的光滑切向量场构成的向量空间以及其上的 Poisson 括号构成一个李代数.
P37Th2.16
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根据光滑流形的定义证明$m$维单位球面$S^m$是$m$维光滑流形.$\bigstar$
P9Eg1.2
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给出光滑流形$M$定向的定义,并证明: 如果$M$是连通的,则$M$恰有两个不同的定向.
P53 Def3.2, ??
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给出向量丛上的联络与协变微分的定义.
P71 Def4.5
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设$M$为一个满足第二可数公理的$m$维光滑流形, 证明$M$上必存在黎曼度量$g$.$\bigstar$
P65 Th4.1
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设$(M,g)$是一个黎曼流形, 证明 Levi-Civita 联络$\nabla$是$M$的切丛$TM$上的联络.
P77 Th4.7
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给出外微分算子$d$的定义, 并证明 Poincare 引理: $d^2=0$,即对任意的外微分式$\omega$, 有$d(d\omega)=0$.
P47Th2.26, Th2.27
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给出光滑流形$M$上的外微分式的积分的详细定义.
P56 Def3.6
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给出光滑流形的浸入(淹没)的定义并举例说明.
P12 Def1.11 Eg1.7,1.8 P13 Def1.16 Eg1.9,1.10
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运用 Poincare 引理证明古典场论公式: $\text{curl}(\mathrm{grad}\ f)=0$.
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用实例解释说明流形上的 Stokes 公式.
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什么是黎曼度量?
设$M$是$m$维光滑流形,$M$上的一个黎曼度量$g$是$M$上的一个光滑的二阶协变张量场, 使得对每一点$p\in M$, $g(p)$是切空间$T_pM$上的一个对称正定的二阶协变张量.
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设$G$为连通拓扑群, $U$为$G$中单位元的一个开邻域, 证明$G=\bigcup_{n=1}^\infty U^n$.
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设$X,Y$为李群$G$上的左不变向量场, 证明$[X,Y]=XY-YX$也是$G$上的左不变向量场.
P38 Th2.18
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证明正交群$O(n,R)$的李代数为$o(n,R)={X\in M(n,R):\ X+X^T= 0 }$, 并求出$O(n,R)$的维数.