写在前面

总结一下组合中用到的惠特尼数(Whitney)和纳拉亚那数(Narayana), 以及德拉诺伊(Delannoy)数的常用定义与性质.

Whitney 数

主要通过偏序集以及格的理想来定义, 指$2n$个元素的栅格(fence)的有$k$个元素的理想的个数.

• 栅格(fence): 通过偏序集来定义, 指形如\/\/\的偏序集, 即${ x_1 < x_2 > x_3 < x_4 > x_5 < x_6 }$

  的偏序集,

例子:

$a(3) = 5$ because the ideals of size$3$ of the fence $F(6) ={ x_1 < x_2 > x_3 < x_4 > x_5 < x_6 }$ are $x_1x_3x_5, x_1x_2x_3, x_3x_4x_5, x_1x_5x_6, x_3x_5x_6$.

定义式如下:

Narayana 数

定义式如下:

\[N(n,k)=\frac1n\binom nk\binom n{k-1},\]

Delannoy 数

Franel 数

\[F_n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k}^3,\]

A000172 - OEIS,

Apéry 数

\[\begin{aligned} A_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2=\sum_{k=0}^n\frac{[{(n+k)!}]^2}{(k!)^4[{(n-k)!}]^2},\\ B_n&=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k=\sum_{k=0}^n\frac{(n+k)!}{(k!)^3[{(n-k)!}]^2},\\ \end{aligned}\]

A005259 - OEIS,