预备定义

原始文献A Theorem on Reciprocal Polynomials with Applications to Permutations and Compositions;

倒数多项式(对称多项式)

对称(reciprocal)多项式: $f(x) = a_n x^n + … + a_0$是对称的, 如果 \(f(x) = x^n f\left(\frac 1x\right),\) 即: $a_r = a_{n-r}$.

单峰对称多项式

多项式$f(x) = a_n x^n + … + a_0$称为单峰(unimodal)对称多项式, 如果它是对称的且对$1\leq i\leq n/2$, 有$a_i-a_{i-1}\geq0$.

Andrews定理

单峰对称多项式的乘积还是单峰对称的.

即多项式 \(f(x)=\sum_{j=0}^na_jx^j,\ \ g(x)=\sum_{j=0}^mb_jx^j,\) 系数都是非负的, 则乘积仍保持对称单峰.

证明

令 \(f(x)g(x)=h(x)=\sum_{j=0}^{m+n}c_jx^j,\) 则 \(h(x) = f(x)g(x)=x^nf(1/x)x^mg(1/x)=x^{n+m}h(1/x),\) 对称性得证.

由于对每一个$a_i\geq0, b_i\geq0$, 有 \(c_j=\sum_{\stackrel{\Large r+s=j}{r\geq0,s\geq0}}a_rb_s\geq0,\) 定义 \(\forall r\in(-\infty, 0)\cap(n, +\infty),\ \ 有 a_r=0\) 以及 \(\forall s\in(-\infty, 0)\cap(m, +\infty),\ \ 有b_s=0\) 于是 \(\forall r\in (-\infty, n/2],\ \ 有a_r-a_{r-1}\geq0\) 并且 \(\forall s\in (-\infty, m/2],\ \ 有b_s-b_{s-1}\geq0\) 所以: \(\begin{aligned} &2(c_{j} - c_{j-1}) \\[5pt] =& \left(\sum_{r}a_rb_{j-r}+\sum_{r}a_{n - r + 1}b_{j - n + r - 1}\right) \\ &- \left(\sum_{r}a_{r-1}b_{j-r} + \sum_{r}a_{n - r}b_{j - n + r - 1}\right)\\ =& \sum_{r}(a_r-a_{r-1})b_{j-r}+\sum_{r}(a_{n - r + 1}-a_{n-r})b_{j - n + r - 1} \\ =& \sum_{r}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r} - b_{j - n + r - 1})\qquad(\text{since} \ a_r=a_{n-r}) \\ =& \sum_{r=0}^{n+1}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r} - b_{j - n + r - 1}) \\ =& \sum_{r=0}^{(n+1)/2}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r} - b_{j - n + r - 1})\\ &+ \sum_{r=0}^{(n+1)/2}(a_{n+1-r}-a_{n-r})(b_{j-n-1+r} - b_{j - r}) \\ =& 2\sum_{r=0}^{(n+1)/2}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r} - b_{j - n + r - 1})\\ =& 2\sum_{r=0}^{n/2}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r} - b_{j - n + r - 1})\\ \end{aligned}\) 于是, \(c_j - c_{j - 1} = \sum_{0\leq r\leq n/2}(a_r-a_{r-1})(b_{j-r}-b_{j-n-1+r}). \tag{*}\) 只需证明$c_j-c_{j-1}\geq0$.

由前面的规定, $\forall 0\leq r\leq n/2$, 有$a_{r}-a_{r-1}\geq0$;

• 如果$j-r\leq m/2$, 由$n+1\geq 2r$, 得到 \(m/2\geq j-r\geq j-n-1+r,\) 即$b_{j-r}-b_{j-n-1+r}\geq0$.

• 如果$j-r> m/2$, 由$0\leq j\leq (m+n)/2$, 得到$m+n+1\geq2j$, 所以 \(m/2> m-j+r\geq j-n-1+r,\) 因此 \(b_{j-r}-b_{j-n-1+r}=b_{m-j+r}-b_{j-n-1+r}\geq0\)

于是, \(\forall j\in[1, (m+n)/2], c_j-c_{j-1}\geq0.\)

总结

主要用到了单峰的定义: 达到峰点之前都是递增序列, 并且由于对称性, 可以进一步展开系数, 代入找到乘积多项式的系数表示即可.