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题目 证明: $n$个结点的图$G$是树当且仅当$G$为有$n-1$条边的连通图. 证明: $n$个结点的图$G$是树当且仅当$G$为有$n-1$条边的无圈图. 解答 必要性: 先证明$n$个结点的树必有$n-1$条边. 利用数学归纳法, 当$n=1,2,3$时, 结论显然成立, 设当$n=k$$(k>3)$时结论成立, 即$k$个结点的树有$k-1$条边, 只需证$n=k+1$时结论成立. 由于非平凡树至少有两个叶结点，设$v$是其中一个，删除$v$以及与之关联的边, 这时新的树有$k$个顶点, 根据归纳假设知该树有$k-1$条边, 此时加入刚才去掉的结点和边, 得到的树有$k+1$个结点和$(k-1)+1=k$条...

写在前面 今天上课使用了钉钉的直播功能, 想要录屏却发现效果不好, obsCPU过载严重, 调整好之后也收效甚微, 正好听同学说钉钉上课的话有直播回放, 但是不能下载, 这让我十分不爽, 开始Google! 大致思路 还真找到了很不错的解决方案, 参考1. 大致方法就是 下载安装Mac下使用的抓包工具Charles, 当然这个软件是付费的, 可以通过一些特殊手段进行安装; 配置Charles, 需要安装证书, 信任证书, 然后开启代理; 打开钉钉开启直播回放然后看Charles的抓包情况, 找后缀是m3u8的链接然后复制下来; 通过brew下载ffmpqg这个强大的视频处理工具, 然后执行 f...

写在前面 今天开始下半学期的英语课, 随便记点课上的知识, 点缀一下千篇一律的技术文章. 其实是因为自己没有笔记本然后字又太丑. 一些单词 这里摘录课上提到的一些有用的单词, 以及熟词偏义. sitcom: situation comedy 情景喜剧 hilarious: amusing 滑稽的 comprehensive: 全面的, 综合的 embody: 体现 recruit: 招聘 intern: 实习生 cast: 演员表 ace: 王牌, 发球得分(网球) serve: 服务,上菜,发球 taxi: 出租车,(飞机)滑行 adapt: 改编(电影改编为小说) curling: 冰壶运动 double-ed...

写在前面 这次介绍一些树和二分图的定义和主要性质, 以及这两种结构中常用的算法, 包括二分图的判定, 最小生成树的寻找等. 好久才更新, 只能说自己的代码能力还有欠缺, 一些算法知道思路但就是写不出来. 基本概念 无圈图(acyclic graph): 任何子图都不是圈的图. 树(tree): 连通的无圈图. 森林(forest): 指所有连通分量都是树的图. 二叉树(): 一棵有根树, 其每个结点至多有两个孩子. 完全二叉树: 除叶子结点外的其他所有节点都有两个孩子的有根二叉树. 叶结点: 度为1的结点(一称端节点, 移除端节点之后原图仍是树). 桥(bridge): 一个连通图若删除某条贬值后变为非连通的, 被删除的边称为桥. ...

写在前面 最近有小伙伴问我怎么无损转换PDF文件为png格式, 一开始我觉得这个直接使用 之前文章提到的sips命令或者convert命令就可以了, 但是发现还是想简单了, sips转换出的png图片没有背景, 而jpg格式清晰度也有下降, convert出来的图片仍然较为模糊. 后来我使用了acrobat, 但是效果依旧不好(图片质量已经调整到最高了). 最后我采用了一种之前介绍过的方法, 就是ghostscript1, 其代码如下: gs -dNOPAUSE -sDEVICE=png16m -r1600 -sOutputFile=document.png "document.pdf" -dBATCH 采用这条命令出来的图片, 效果和质量都是最好的, 美中不足的就是命令太...

写在前面 最近开始更新图论笔记系列, 没办法做到面面俱到了, 就把自己觉得重要的内容放上来, 有任何问题欢迎大家指正. 主要概念 图(graph): 关系的数学表达, 由两个集合: 非空结点集$V$和有限的边集$E$组成. 图的阶(order): 集合$V(G)$的基数(势)$n$. 图的规模(size): 集合$E(G)$的基数$m$. 邻接(adjacent): 指两个节点之间有边连接. 关联(incident): 边与左右两个节点关联. 结点的度(degree): 与结点相邻接的结点数. 孤立点: 度为$0$的结点. 最小度: 图中所有结点的最小度数, 记为$\delta(G)$. 最大度: 图中所有结点的最大度数, 记为$\...

问题 环境 MacOS12 Apple silicon emacs-plus 27.2 安装了pylsp之后仍然显示无法找到, 并且已经设置好环境变量. 报错: Command "pyls" is not present on the path. Command "pylsp" is not present on the path. 解决方法 原因分析: 网上很多方法都不凑奏效, 于是我决定从官方文档开始寻找解决方案, 在1这块我发现List of directories which will be considered to be libraries.默认参数为/usr/, 但是我的pylsp是采用/opt/homebrew/安装的, 猜想可能是这个原...

问题描述 最近写关于博客配置的文章中出现了这样一个问题, 如果页面是通过Jekyll引擎进行渲染的, 那么如果在文章中写了Liquid代码, 引擎也会将其解析 写配置类博客的目的当然是展示代码, 那么如何只展示Liquid代码而并不使引擎解析呢? 不同于块注释 {% comment %} This is a comment in Liquid {% endcomment %} 如果写上块注释的话其实Liquid是不会显示的, 要让其完整显示命令语句, 只能进行一种类似于转义的方法. 之后通过Google我得到了完美的答案, 主要参考了Stack Overflow里面的回答12, 下面来详细介绍一下具体的方法与各自的使用场景. 方法一: 针对块 (非常推荐) {% r...